Знакомство с принципом дирихле решение задач на принцип дирихле

Факультативное занятие по математике для классов " Принцип Дирихле"

Применение принципа Дирихле при решении задач на размещение. Решение этой задачи должно состоять из двух частей: .. Знакомство с материалом (докладывает учитель или кто-то из учеников). 2. Такие рассуждения очень часто встречаются при решении задач, поэтому их Решение задачи с помощью принципа Дирихле сводится к выбору. Знакомство с принципом Дирихле 1. Смысл принципа Применение принципа Дирихле для решения различных задач 1. Классификация задач.

Необходимо доказать, что она не может пересекать три его стороны.

Занимательные задачи по теории графов и связь таких задач с программированием

Представим, как прямая k разбивает треугольник на две плоскости, назовём их s1 и s2. Будем считать, что s1 и s2 открытые, то есть не содержащие прямую k.

Ну а сейчас — самое время применить принцип Дирихле. Задачи с решениями могут продемонстрировать, что под кроликами и ячейками в современных условиях подразумеваются разнообразные объекты. Так, вместо зайцев мы подставим вершины треугольника, а вместо ячеек — полуплоскости. Поскольку проведенная прямая k не пересекает ни одну из вершин, то каждая из них находится в той или иной плоскости.

Но поскольку вершины в треугольнике три, а плоскости у нас всего две s1 и s2то одна из них будет содержать две вершины.

Предположим, что это вершины A и B, и находятся они в полуплоскости s2 то есть лежат по одну сторону от k. В таком случае отрезок АВ не пересекает прямую k.

То есть в треугольнике есть сторона, которую прямая k не пересекает. Внутри равностороннего треугольника со стороной 2 см бросили 5 горошин. Доказать, что найдутся две горошины, расстояние между которыми меньше 1см.

Разделим треугольник на 4 равных треугольника как показано на рисунке Приложение, рисунок 3. Стороны новых треугольников будут равны 1см. Поскольку бросают 5 горошин, то в один из полученных треугольников попадет хотя бы 2 горошины, расстояние между которыми будет меньше стороны треугольника, то есть меньше 1см. Принцип Дирихле и комбинаторные задачи Задача 1. Допустим, вокруг округлённого стола стоят на равном расстоянии друг от друга m флажков разных стран, а за столом сидят m представителей от каждой страны, причём каждый из них расположился рядом с чужим флажком.

Нужно доказать, что при определённом вращении стола хотя бы двое из представителей окажутся возле своих флажков. Получается, что существует m—1 способов развернуть стол так, чтобы изменилось взаиморасположение представителей и флажков если исключить начальное размещение столано при этом остается m представителей.

Принцип Дирихле

Применим к решению утверждение Дирихле и обозначим, что представители выступают кроликами, а определенные положения стола при вращении — ячейками. При этом нужно провести аналогию между расположением представителя рядом с соответствующем флажком и заполненными ячейками. Мы понимаем, что у нас на одну ячейку меньше, чем нужно m—1а значит, в одной из них окажется как минимум 2 кролика.

При этом не исключены ситуации, что какая-то клетка будет пустой ни один представитель не совпал с флажкома в какой-то клетке окажется два, три или даже больше кроликов два, три и больше представителей совпадут с флажками.

Таким образом, при одном определенном вращении как минимум два представителя очутятся возле своих флажков как минимум два кролика попадут в одну ячейку. Приступая к решению такой задачи, важно понимать, что начальное положение — это тоже ячейка, но по условию задачи она заведомо пустует, поэтому мы уменьшаем общее количество на 1 m—1. Авторские задачи Изучив классические задачи, которые решаются с помощью принципа Дирихле, я решила попробовать самостоятельно составить несколько подобных задач.

В нашем классе 29 человек. Доказать, что по крайне мере у трех из них день рожденья в одном месяце. Для команды лыжников было сшито 20 новых костюмов. Докажите, что среди всех костюмов найдется мужской костюм синего цвета с белой шапочкой.

Возьмём 15 карточек и на каждой из них напишем мужской костюм. Еще на 16 карточках напишем — синий цвет, и на 12 — белая шапочка. Пронумеруем костюмы от 1 до 20 и будем раскладывать карточки. Следовательно, среди всех костюмов найдется мужской костюм синего цвета с белой шапочкой. Решим эту задачу, используя принцип Дирихле.

ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ. Научно-исследовательская работа

Пусть имеются коробок, соответственно пронумерованных 1,2,3, Помещаем мысленно в эти коробки елей следующим образом: Поскольку елей, то есть "предметов", больше, чем коробок, следует, что по крайней мере одна коробка будет содержать не менее двух предметов, то есть, не менее двух елей.

Так как в одной и той же коробке находятся ели с одинаковым числом иголок, приходим к выводу, что существуют хотя бы две ели с одинаковым числом иголок. Конечно, задача 1, как мы убедились, очевидна, и легко может быть решена без помощи принципа Дирихле. Поэтому, естественно, возникает вопрос: Простота решения в значительной степени зависит от того, насколько удачно будут выбраны "коробки" и "предметы". То есть, при использовании принципа Дирихле необходимо указать, что кто будет "коробкой", а что кто - "предметом".

В дальнейшем, для закрепления материала, приведем решения ряда задач. Доказать, что среди шести целых чисел найдутся два числа, разность которых делится на 5. Рассмотрим 5 коробок, пронумерованных 0,1,2,3,4, - цифрами, представляющими собой остатки от деления на 5. Распределим в эти коробки шесть произвольных целых чисел в соответсвии с остатком от деления на 5, то есть, в одну и ту же коробку помещаем числа, имеющие одинаковый остаток от деления на 5.

Поскольку чисел "предметов" больше, чем коробок, согласно принципу Дирихле, существует одна коробка, содержащая более одного предмета. То есть, существуют по крайней мере два числа, помещенные в одну и ту же коробку. Следовательно, существуют два числа с одинаковым остатком от деления на 5. Тогда, разность этих чисел делится на 5. Рассмотрим натуральные числа и распределим эти "предметы" в "коробки" пронумерованные 0,1, В коробку s помещаем число ak, которое имеет остаток от деления на n, равный s.

Если в коробке с номером 0 находится один "предмет" то есть, одно числотогда задача решена. В противном случае n "предметов" находятся в n-1 "коробках". Согласно приципу Дирихле, существуют два "предмета" числанаходящиеся в одной и той же коробке. То есть, существуют два числа, имеющие одинаковый остаток от деления на n. Их разность будет делится на n, и как легко заметить, разность чисел, состоящих из цифр 0 и 5, также будет числом, состоящим из 0 и 5. Доказать, что среди них найдутся два человека с одинаковым числом знакомых предполагается, что если человек A является знакомым человека B, то и B является знакомым A; никто не считается своим собственным знакомым.

Обозначим через m количество человек, которые имеют хотя бы одно знакомство в зале это и будут "предметы".

Каждый из этих m человек может иметь 1,2, Согластно принципу Дирихле, сущетсвуют два человека с одинаковым числом знакомых. При решении некоторых задач полезно применять обобщенный принцип Дирихле. В доме живут 40 учеников. Существует ли такой месяц в году, когда хотя бы 4 ученика празднуют свой день рождения. Пусть "коробками" будут месяцы, а "предметами" - ученики. Распределяем, "предметы" по "коробкам" в зависимости от месяца рождения. Пусть M - множество, состоящее из n целых чисел.

Доказать, что существует подмножество M1 множества M такое, что сумма элементов множества M1 делилась бы на n. Так как имеются n сумм и n - 1 остатков, то по крайней мере две суммы дадут одинаковый остаток от деления на n. Рассмотрим разности a2 - a1, Эти числа различны, положительны и меньшие, чем 2n.

Согласно принципу Дирихле, хотя бы два числа совпадают. Пусть это будут числа ak и am - a1. Доказать, что произведение a1 - 1 a2 - Поскольку произведение состоит из n сомножителей, один по крайней мере из них будет содержать только нечетные числа и уменьшаемое и вычитаемое будут нечетными.

Таким образом, этот множитель будет четным, и произведение также будет четным. В коробках лежат яблоки. Известно, что в каждой коробке находятся не более яблок. Доказать, что существуют хотя бы 3 коробки, которые содержат одинаковое количество яблок. Пусть в первых коробках находится различное количество яблок 1,2, В коробке лежат 10 красных карандашей, 8 синих, 8 зеленых и 4 желтых. Наугад произвольно из коробки вынимают n карандашей. Определить наименьшее число карандашей, которые необходимо вынуть, чтобы среди них было: Так как у нас всего 4 цвета, согласно принципу Дирихле карандаши будут "предметами", а цвета - "коробками"по крайней мере 4 карандаша будут одинакового цвета.

С этой целью покажем ситуацию, при которой условия задачи не выполняются.

Факультативное занятие по математике для 5-8 классов " Принцип Дирихле"

Например, когда вынуто по 3 карандаша каждого цвета 12 карандашей. При решении многих задач я столкнулся с еще одним методом рассуждения "от противного".

Меня заинтересовала одна из его форм принцип Дирихле. Способ решения задач с помощью данного принципа я сделать предметом исследования данной работы. В ходе выполнения работы мной были решены следующие задачи: Мной использовались следующие методы исследования: Моя работа весьма актуальна, так как принцип Дирихле не рассматривается в учебниках математики, а полученные знания пригодятся для сдачи экзаменов и решении практических задач в жизни.

Общая информация о принципе Дирихле I.

План-конспект факультативного занятия по теме "Принцип Дирихле"

Входил в кружок молодых ученых, которые группировались вокруг Ж. Дирихле вместе с А. В занял место доцента в Бреславе; с работал в Берлине. Сделал ряд крупных открытий в теории чисел; установил формулы для числа классов бинарных квадратичных форм с заданным определителем и доказал теорему о бесконечности количества простых чисел в арифметической прогрессии из целых чисел, первый член и разность которой взаимно просты.

К решению этих задач применил аналитические функции, названные функциями рядами Дирихле. Создал общую теорию алгебры, единиц в алгебраическом числовом поле. В области математического анализа впервые точно сформулировал и исследовал понятие условной сходимости ряда, дал строгое доказательство возможности разложения в ряд Фурье кусочно-непрерывной и монотонной функций, что послужило обоснованием для многих дальнейших исследований.

Значительны труды Дирихле в механике и математической физике, в частности, в теории потенциала. С именем Дирихле связаны задача, интеграл ввел интеграл с ядром Дирихлепринцип, характер, ряды. Лекции Дирихле имели огромное влияние на выдающихся математиков более позднего времени, в том числе на Г.

Различные формулировки принципа Дирихле При решении многих задач используется логический метод рассуждения "от противного". Здесь мы рассмотрим одну из его форм принцип Дирихле. На языке отображений эта формулировка означает, что если в А множестве предметов больше элементов, чем в В множестве ящиковто не существует обратимого отображения А в В.

Другая формулировка принципа Дирихле: Заметим, что в роли кроликов могут выступать различные предметы и математические объекты - числа, отрезки, места в таблице и. Если мы хотим применить принцип Дирихле при решении конкретной задачи, то нам предстоит разобраться, что в ней "клетки", а что "кролики". Это обычно является самым трудным этапом в доказательстве. Обобщенный принцип Дирихле также достаточно очевиден: Обобщение принципа используют, когда требуется выявить несколько три и более объектов, обладающих некоторым свойством.

В магазин привезли 25 ящиков с тремя разными сортами яблок в каждом ящике яблоки только одного сорта. Докажите, что среди них есть по крайней мере 9 ящиков с яблоками одного и того же сорта. Применение принципа Дирихле для решения различных задач II. Принцип Дирихле и арифметика Задача 1.

В лесу растет миллион елок. Известно, что на каждой из них не более иголок. Докажите, что в лесу найдутся две елки с одинаковым числом иголок.